ボラティリティ
金融工学においてボラティリティ（英: volatility）とは、広義には資産価格の変動の激しさを表すパラメータ。広義については、テクニカル指標一覧#広義ボラティリティを参照。
狭義には株価の幾何ブラウン運動モデル
- dSt=μStdt+σStdBt{displaystyle dS_{t}=mu S_{t},dt+sigma S_{t},dB_{t}}
におけるσ{displaystyle sigma }のこと。
St{displaystyle S_{t}}が株価を表す場合、時間の単位を1年単位にすると、通常ボラティリティは 0.15<σ<0.60{displaystyle 0.15<sigma <0.60} の範囲にあることが経験的に知られている。同時に、現実の株価は幾何ブラウン運動モデルではないことも経験的に知られている（経済物理学を参照）。
目次
1 ヒストリカル・ボラティリティとインプライド・ボラティリティ
1.1 ヒストリカル・ボラティリティ
1.2 インプライド・ボラティリティ
2 関連項目
3 参考文献
ヒストリカル・ボラティリティとインプライド・ボラティリティ
幾何ブラウン運動モデル(ブラック-ショールズ方程式)で現実の市場を説明しようとする際、インプットとして使うデータの種類によってσ{displaystyle sigma }の値が異なる。
ヒストリカル・ボラティリティ
株価の値動きがモデル(1)に従うと仮定し、過去の株価のデータから推定したσ{displaystyle sigma }の値。価格の対数差分の標準偏差。
過去n{displaystyle n}日にわたって株価を観測したとし、Si{displaystyle S_{i}}を第i{displaystyle i}日の(例えば)終値とする。
ui:=logSiSi−1, u¯:=ui{displaystyle u_{i}:=log {frac {S_{i}}{S_{i-1}}}, {overline {u}}:=u_{i}}の平均
と置くと
s=1n−1∑i=1n(ui−u¯)2{displaystyle s={sqrt {{frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}(u_{i}-{overline {u}})^{2}}}}
が推定値となる。このような手続きによって推定された値をヒストリカル・ボラティリティという。
インプライド・ボラティリティ
これに対して、現実のオプション市場でついたオプション価格から逆算されたボラティリティをインプライド・ボラティリティという。
以下これについて説明する。
ブラック-ショールズモデル(1)(金利はr={displaystyle r=}一定)を使えば、満期T{displaystyle T}、権利行使価格K{displaystyle K}のヨーロピアン・コールオプションの価格c(K,T){displaystyle c(K,T)}は
C(K,T)=SN(log(S/K)+(r+σ2/2)TσT)−Ke−rTN(log(S/K)+(r−σ2/2)TσT){displaystyle C(K,T)=SNleft({frac {log(S/K)+(r+sigma ^{2}/2)T}{sigma {sqrt {T}}}}right)-Ke^{-rT}Nleft({frac {log(S/K)+(r-sigma ^{2}/2)T}{sigma {sqrt {T}}}}right)}
S{displaystyle S}は現在の株価、N(x){displaystyle N(x)}は標準正規分布の分布関数
によって表される。しかしこの式のσ{displaystyle sigma }をヒストリカル・ボラティリティにすると多くの場合、計算されるC(K,T){displaystyle C(K,T)}は現実のオプションの市場価格とは一致しない。そこで逆に、σ{displaystyle sigma }に関する方程式（C(K,T){displaystyle C(K,T)}はσ{displaystyle sigma }の関数であることに注意）
市場価格=C(K,T){displaystyle =C(K,T)}
を解いて得られるσ{displaystyle sigma }をインプライド・ボラティリティという。
なお、この値は当然K{displaystyle K}やT{displaystyle T}によって異なる。T{displaystyle T}を固定して、横軸にK{displaystyle K}、縦軸にインプライド・ボラティリティをプロットしたグラフをボラティリティ・スマイル、K{displaystyle K}を固定して、横軸にT{displaystyle T}、縦軸にインプライド・ボラティリティをプロットしたものをボラティリティ期間構造と呼ぶ。
関連項目
- 金融工学
- 数理ファイナンス
- ブラック-ショールズ方程式
- 確率的ボラティリティモデル
- 恐怖指数
参考文献
- John Hull, "Options, Futures, and other derivatives", Prentice Hall
