シムソンの定理
三角形 ABC のシムソン線
シムソン線（赤）は、スタイナーのデルトイド（青）に接する
幾何学におけるシムソンの定理とは三角形ABCの外接円上の点Pから三角形の各辺BC, CA, ABにおろした垂線の足L, N, Mがすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線或いはシムソンラインと呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス[2]である。
目次
1 シムソン線の性質
2 証明
2.1 初等幾何による証明
2.2 複素数による証明
3 脚注
4 参考文献
5 関連項目
6 外部リンク
シムソン線の性質
- 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
- Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
- 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
- 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
- シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。
証明
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初等幾何による証明
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。
∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。
∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.
∠PAC<90度とする。
点A,P,N,Mは同一円周上にある。
A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから
∠PAM=∠PAC…①
直線BAに対してPとMは反対側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線NAに対してPとMは反対側にあるから
NとAは四角形APNMの対角点となるから
∠PAM+∠MNP=180度…②
点P,L,B,Nは同一円周上にある。
B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠CBP>90度だから
直線BAに対してLとCは反対側にあるから
直線BAに対してLとPは同じ側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線BNに対してLとPは同じ側にあるから
BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから
∠PNL=∠PBL…③
∠CBP>90度だから
(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.
∠PAC+∠CBP=180度だから
∠PBL=∠PAC…④
①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.
複素数による証明
△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。
外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数をa,b,c,d,e,fとする。
x の共役複素数を x¯{displaystyle {bar {x}}} とすると
A,B,C,Pは単位円上の点だから、
|a|=|b|=|c|=1.{displaystyle |a|=|b|=|c|=1.}…(1)
PL と BC のなす角は直角だから、
(d−1)(c¯−b¯)+(d¯−1)(c−b)=0.{displaystyle (d-1)({bar {c}}-{bar {b}})+({bar {d}}-1)(c-b)=0.}…(2)
L,B,C は同一直線上にあるから、
(d−b)(c¯−b¯)−(d¯−b¯)(c−b)=0.{displaystyle (d-b)({bar {c}}-{bar {b}})-({bar {d}}-{bar {b}})(c-b)=0.}…(3)
bb¯=cc¯=|b|2=|c|2=1{displaystyle b{bar {b}}=c{bar {c}}=|b|^{2}=|c|^{2}=1} である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、
2d=b+c−bc+1.{displaystyle 2d=b+c-bc+1.}
同様にして、2e=c+a−ca+1, 2f=a+b−ab+1.{displaystyle 2e=c+a-ca+1, 2f=a+b-ab+1.}
次に (e−d)(f¯−d¯)−(e¯−d¯)(f−d){displaystyle (e-d)({bar {f}}-{bar {d}})-({bar {e}}-{bar {d}})(f-d)} を求めると、
4((e−d)(f¯−d¯)−(e¯−d¯)(f−d))=((a¯b−ab¯)(|c|2−1)+(b¯c−bc¯)(|a|2−1)+(ac¯−ca¯)(|b|2−1) +a(|c|2−|b|2)+b(|a|2−|c|2)+c(|b|2−|a|2) +a¯(|b|2−|c|2)+b¯(|c|2−|a|2)+c¯(|a|2−|b|2)).{displaystyle {begin{aligned}4((e-d)({bar {f}}-{bar {d}})-({bar {e}}-{bar {d}})(f-d))&=(({bar {a}}b-{bar {ab}})(|c|^{2}-1)+({bar {b}}c-{bar {bc}})(|a|^{2}-1)+({bar {ac}}-{bar {ca}})(|b|^{2}-1)\& +a(|c|^{2}-|b|^{2})+b(|a|^{2}-|c|^{2})+c(|b|^{2}-|a|^{2})\& +{bar {a}}(|b|^{2}-|c|^{2})+{bar {b}}(|c|^{2}-|a|^{2})+{bar {c}}(|a|^{2}-|b|^{2})).end{aligned}}}
となり、|a|=|b|=|c|=1{displaystyle |a|=|b|=|c|=1} だから
(e−d)(f¯−d¯)−(e¯−d¯)(f−d)=0{displaystyle (e-d)({bar {f}}-{bar {d}})-({bar {e}}-{bar {d}})(f-d)=0}
となって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.
脚注
^ “Gibson History 7 - Robert Simson”. 2008年11月11日閲覧。
^ “Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. 2008年9月23日閲覧。
参考文献
- 清宮俊雄 『幾何学 発見的研究法』 科学新興新社、1988年3月、改訂版。ISBN 978-4-89428-188-2。
清宮俊雄 「4.7」『初等幾何学』 裳華房〈基礎数学選書 7〉、2002年8月（原著1972年5月）。ISBN 978-4-7853-1107-0。 - 2002年にオンデマンド印刷で復刊。- 高木貞治 『近世数学史談・数学雑談』 共立出版、1996年12月、復刻版、90-93頁。ISBN 978-4-320-01551-7。
関連項目
- ペダル三角形
- ロバート・シムソン
外部リンク
- 『シムソンの定理とその２通りの証明』 - 高校数学の美しい物語.
- Jackson, Frank and Weisstein, Eric W.. "Simson Line". MathWorld（英語）. CS1 maint: Multiple names: authors list
Simson Line: What is it? - Cut The Knot
