行列表示
量子力学において、行列表示（ぎょうれつひょうじ）とは、演算子を行列、状態ベクトルを縦ベクトルとして計算する方法である。
実際に計算機を用いて計算を行う場合は、微積分などの演算子を使う形式よりも行列表示の方が扱いやすい。
演算子の行列要素
任意の正規直交完全系{|1⟩,…,|m⟩,…,|n⟩,…}{displaystyle left{|1rangle ,dotsc ,|mrangle ,dotsc ,|nrangle ,dotsc right}}をひとつ選ぶと、これを用いて演算子と状態ベクトルは以下のように展開できる。
- A^=1^A^1^=∑m,n|m⟩⟨m|A^|n⟩⟨n|=∑m,n|m⟩Amn⟨n||ψ⟩=1^|ψ⟩=∑n|n⟩⟨n|ψ⟩=∑nψn|n⟩{displaystyle {begin{aligned}{hat {A}}&={hat {1}}{hat {A}}{hat {1}}=sum _{m,n}|mrangle langle m|{hat {A}}|nrangle langle n|=sum _{m,n}|mrangle A_{mn}langle n|\|psi rangle &={hat {1}}|psi rangle =sum _{n}|nrangle langle n|psi rangle =sum _{n}psi _{n}|nrangle end{aligned}}}
この⟨m|A^|n⟩ =Amn {displaystyle langle m|{hat {A}}|nrangle =A_{mn} }を、「演算子A^ {displaystyle {hat {A}} }の行列要素」と呼ぶ。
行列表示での計算
このように行列表示をすれば、「状態ベクトル|ψ⟩{displaystyle |psi rangle }に演算子A^ {displaystyle {hat {A}} }を作用して、新たな状態ベクトル|ψ′⟩{displaystyle |psi 'rangle }を得た」
- A^|ψ⟩=|ψ′⟩{displaystyle {hat {A}}|psi rangle =|psi 'rangle }
ということは、「行列(Amn){displaystyle (A_{mn})}と縦ベクトル(ψn){displaystyle (psi _{n})}のかけ算で、新たな縦ベクトル(ψn′){displaystyle (psi '_{n})}を得た」
- ∑n Amnψn=ψm′{displaystyle sum _{n} A_{mn}psi _{n}=psi '_{m}}
あるいは
- (A11A12⋯A21⋱⋮Amn⋮⋱⋯)( ψ1 ⋮ ψn ⋮)=( ψ1′ ⋮ ψm′ ⋮){displaystyle {begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&cdots &&\A_{21}&ddots &&&\vdots &&A_{mn}&&vdots \&&&ddots &\&&cdots &&\end{pmatrix}}{begin{pmatrix} psi _{1}\ vdots \ psi _{n}\ vdots \end{pmatrix}}={begin{pmatrix} psi '_{1}\ vdots \ psi '_{m}\ vdots \end{pmatrix}}}
と表現できる。
参考文献
- Attila Szabo; Neil S. Ostlund 『新しい量子化学―電子構造の理論入門』 大野公男; 望月祐志; 阪井健男訳、東京大学出版会、1987年。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"""""""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}
ISBN 978-4130621113。 - 清水明 『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』 サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。
